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Uni-Mathe lesen lernen

1. Einführung

Wenn du von der Schule in die Uni kommst und deine erste Vorlesung hörst, dann wirst du vermutlich einen kleinen Kulturschock bekommen, da die Art und Weise, wie in der Mathematik kommuniziert wird, für den Laien wie Hieroglyphen aussieht. Viele Studenten resignieren deshalb gleich zu Beginn, obwohl das Semester noch nicht einmal richtig angefangen hat - meiner Ansicht nach völlig zu Unrecht! Denn genauso, wie man bei einer neuen Sprache wie Japanisch oder Koreanisch die Silbenschriften lernen kann, ist es auch möglich, die wenigen Symbole, die am Anfang tatsächlich Probleme bereiten, zu lernen.
Doch nicht nur in der Vorlesung ist es hilfreich, Mathematik "lesen" zu können. Wenn du bspw. auf Wikipedia nachschlagen möchtest, was bestimmte Begrifflichkeiten bedeuten, dann wird dort in der Sprache der Uni-Mathematik kommuniziert. Einfache Begriffe wie z. B. "Funktion" werden derart detailliert beschrieben, dass man ohne tiefgreifende Kenntnisse der mathematischen Symbolik de facto fast nichts verstehen kann. Deshalb ist es wichtig, dass du das Lesen im Mathematik-Kontext noch einmal neu erlernst, da du ansonsten später auch keine Fachartikel etc. wirst lesen können. Du kannst jedoch froh darüber sein, dass Mathematik eine universelle Sprache ist und es kaum "Dialekte" gibt. Es kann höchstens sein, dass das ein oder andere Zeichen in verschiedenen Lehrbüchern unterschiedliche Bedeutungen hat - das ist aber eher die Ausnahme. So einschneidende Dialekte wie etwa Bayerisch, was ich, obwohl ich in München lebe, oft nur schwer verstehen kann, gibt es in der Mathematik nicht.
Eigentlich dient die Notation an der Uni keineswegs dazu, dir das Leben zu erschweren, sondern zu erleichtern! Durch diese verkürzte Notation wird der Fokus auf das Wesentliche gerichtet und man hält sich nicht mit überflüssigem Prosa auf. Dadurch fällt es - mir zumindest - leichter, den mathematischen Argumenten zu folgen.

2. Quantoren

Die ersten beiden Zeichen, die man sieht und so bisher noch nicht gesehen hat, sind diese beiden: $$ \exists, \forall $$ Das Zeichen \(\forall\) hast du möglicherweise schon einmal gesehen, wenn du die Serie ATYPIC\(\forall\)L auf NETFLIX geschaut hast. Dieses Zeichen ist ein umgedrehtes A, heißt Allquantor und bedeutet so viel wie für alle. Wenn du also sagen möchtest, dass alle Pflanzen Lebewesen sind, dann kannst du auch schreiben: $$ \forall \text{Pflanzen}: \text{Pflanzen sind Lebewesen} $$ Moment, was ist hier passiert? Was bedeutet dieser Doppelpunkt? Der Doppelpunkt heißt einfach so viel wie "es gilt/es ist". Bis zu dem Doppelpunkt steht dort in Prosa also "Für alle Pflanzen gilt". Du musst in der Mathematik keine langen Wörter ausschreiben. Du kannst sie einfach mit einem Buchstaben abkürzen. Allerdings musst du zuvor definieren, was du mit dem Buchstaben meinst. Dafür kann der Definitionsoperator \(:=\) verwendet werden. Wenn du also sagen möchtest, dass \(P\) eine Pflanze ist, dann kannst du \(P:=\text{Pflanze}\) schreiben und das dann in deiner mathematischen Ausssage verwenden: $$ \forall P: P \text{ ist ein Lebewesen} $$ Du kannst sogar noch weiter verkürzen, indem du die Eigenschaft \(x\) ist ein Lebewesen durch eine Funktion ausdrückst. Diese Funktion könnte z. B. wie folgt definiert werden: $$ L(x) := x \text{ ist ein Lebewesen} $$ Dadurch würde sich die Aussage noch einmal zu $$ \forall P: L(P) $$ Statt des \(x\) haben wir den Bezeichner \(P\) für die Pflanzen eingesetzt, da sich der Allquantor ja genau darauf bezieht.
Zusätzlich zu dem horizontal gespiegelten \(A\) gibt es noch ein vertikal gespiegeltes \(E\), also \(\exists\). Dieses Zeichen ist der sogenannte Existenzquantor und bedeutet so viel wie es existiert (mindestens) ein. Wenn du ausdrücken möchtest, dass es genau ein Element von einer bestimmten Sorte gibt, dann schreibst du hinter den Existenzquantor ein Ausrufezeichen, also \(\exists!\). Es macht in der Mathematik einen großen Unterschied, welches Zeichen du verwendest! Wenn du z. B. sagst, dass es (mindestens) eine reelle Zahl \(x\) gibt, die die Gleichung \(x^2=1\) löst, dann stimmt diese Aussage: $$ \exists \text{ reelle Zahl }x:x^2=1\checkmark $$ Wenn du hingegen sagst, dass es genau eine reelle Zahl \(x\) gibt, die die Gleichung \(x^2=1\) löst, dann ist diese Aussage falsch, da es mehr als eine gibt, nämlich \(x_1=1\) und \(x_2=-1\): $$ \exists! \text{ reelle Zahl }x:x^2=1 $$

3. Zahlenmengen

Zahlenmengen kennst du bereits aus der Schule. Auch in der Uni werden dafür entsprechende Symbole verwendet: In den ersten Semestern werden dir die folgenden Zahlenmengen begegnen:
  • \(\mathbb{N}:=\{1,2,3,...\}\)
  • \(\mathbb{Z}:=\{-2,-1,0,1,2,...\}\)
  • \(\mathbb{Q}:=\{1.2,2.4,-3.1,...\}\)
  • \(\mathbb{R}:=\{\sqrt{2}, \pi,e,...\}\)
  • \(\mathbb{C};\{2i+3,i,3i-1.2,...\}\)
Du solltest also ein ungefähres Feeling dafür haben, welche Zahl in welche Zahlenmenge einzuordnen ist. Gundsätzlich kann man sagen, dass die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) alles sind, was man mit den Fingern zählen kann (vorausgesetzt man hat unendlich viele Finger). Die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) sind die natürlichen Zahlen plus die Null und alle natürlichen Zahlen, vor die man ein Minus schreibt. Die rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) sind alle Zahlen, die man als Bruch darstellen kann. Die reellen Zahlen sind alle Zahlenmengen, die bisher genannt wurden plus diejenigen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen, wie etwa \(\sqrt{2}\) oder \(\pi\). Die komplexen Zahlen \(\mathbb{C}\) sind alle reellen Zahlen plus diejenigen, die mit der imaginären Einheit \(i\) arbeiten (dazu in einem anderen Artikel mehr).
Ich habe bei der Erklärung der Zahlenmengen implizit den Begriff der Menge verwendet. Eine Menge ist nach dem Mathematiker Georg Cantor eine Zusammenfassung \(M\) von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten \(m\) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von \(M\) genannt werden) zu einem Ganzen. Um zu zeigen, dass ein Objekt Element einer Menge ist, verwenden wir das Zeichen \(\in\). Um zu signalisieren, dass \(\pi\) eine reelle Zahl ist, schreibt man demnach \(\pi\in\mathbb{R}\).
Für die Arbeit mit Mengen definiert man dann weitere Symbole, wie
  • \(\cup\) für die Vereinigung zweier Mengen,
  • \(\cap\) für den Schnitt zweier Mengen,
  • \(\subset\) für die Teilmengenbeziehung,
  • \(\setminus\) für die Mengendifferenz
usw.. Es ist übrigens wichtig den Unterschied zwischen \(\subset\) und \(\subseteq\) zu kennen. \(\subset\) meint eine echte Teilmengenbeziehung, d. h. für \(M\subset N\) ist die Menge \(M\) zwar eine Teilmenge von \(N\), aber nicht die Menge \(N\) selbst. Bei \(M\subseteq N\) kann \(M\) auch die Menge \(N\) selbst sein, also \(M=N\).
Diese Mengenrelationssymbole funktionieren von der Logik her analog zu den Zeichen \(\lt, \leq, \gt\) und \(\geq\).

4. Junktoren

Aus dem Bereich der Logik, dem auch die Quantoren entsprungen sind, stammen auch die sogenannten Junktoren, die Aussagen miteinander verknüpfen (deshalb auch Junktor, vom lat. adiungere "verbinden"). Es gibt
  • \(\wedge\) für "und",
  • \(\vee\) für "oder",
  • \(\oplus\) für "entweder oder",
  • \(\neg\) für "nicht"
  • \(\Longrightarrow\) für "impliziert" und
  • \(\Longleftrightarrow\) für "genau dann, wenn" bzw. "äquivalent zu"

 

Was diese Zeichen im Detail bedeuten, kannst du in meinem Artikel Kombinieren wie ein Meisterdetektiv nachlesen.


5. Darstellung von Funktionen

In der Uni-Mathematik werden Funktionen oft etwas anders dargestellt als in der Schule. Selbst der Begriff Funktion kann in verschiedenen Fächern unterschiedlich heißen. In der linearen Algebra spricht man z. B. von einer Abbildung, während man in der Analysis von einer Funktion spricht. Gemeint ist aber in beiden Fällen dasselbe!
Eine Funktion bildet z. B. von einer Menge \(A\) in eine andere Menge \(B\) ab. Das schreibt man dann so: $$ f:A\longrightarrow B $$ Dabei sind \(A\) und \(B\) Mengen. \(f\) ist der Name der Funktion. Der Doppelpunkt signalisiert, dass für die Funktion \(f\) die nachfolgende Abbildung zwischen den Mengen gelten soll. Dahinter schreibt man dann noch die konkrete Funktionsvorschrift (wie in der Schule), also z. B.: $$ f:A\longrightarrow B, f(x)=x^2 $$ Wenn \(A\) und \(B\) die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) sind, dann spricht man von einer reellen Funktion. Statt \(f(x)=x^2\) findet man hin und wieder das Zeichen \(\mapsto\): $$ f:A\longrightarrow B, x\mapsto x^2 $$ Gemeint ist dasselbe wie \(f(x)=x^2\).
Eine Funktion kann auch mehr als einen Übergabeparameter haben. Es könnte z. B. sein, dass man eine Funktion \(a\) definieren möchte, die zwei reelle Zahlen entgegennimmt und diese addiert. In diesem Fall notiert man das folgendermaßen: Zuerst wird die Überführung zwischen den Mengen notiert. Da wir zwei reelle Zahlen nehmen, steht vor dem Pfeil auch zweimal die reelle Zahlenmenge (getrennt durch ein \(\times\): $$ a:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} $$ Dieses \(\times\) steht für das sogenannte kartesische Produkt. Die Abbildungsvorschrift wäre dann $$ f(x,y)=x+y $$ oder mit dem \(\mapsto-\)Pfeil $$ (x,y)\mapsto x+y $$

6. Schrittweises Übersetzen

Wir wenden das Wissen nun an, um systematisch eine Definition zu entschlüsseln.
Definition: Seien \(M,N\) zwei Mengen. Es sei \(R\subseteq M\times N\) eine Relation. \(R\) heißt eindeutig, wenn für alle \(x\in M\) und \(y, z \in N\) gilt: \(xRy\wedge xRz\Longrightarrow y = z\).
Um eine Definition zu verstehen, hilft es oft, diese bis ins kleinste Detail zu sezieren. Zunächst geht man in diesem Fall z. B. so vor, dass man sich (falls bekannt) ins Gedächtnis ruft, was eine Relation ist, nämlich eine Teilmenge \(\subseteq\) des kartesischen Produkts (\(M\times N\)) zweier Mengen \(M\) und \(N\). Danach wird die Eigenschaft eindeutig eingeführt und anhand von Bedingungen formuliert, wann diese Eigenschaft tatsächlich erfüllt ist. Wir haben drei Elemente \(x\) aus \(M\) und \(y,z\) aus \(N\). Damit \(R\) eindeutig ist, soll für alle \(x\) gelten, dass wenn \(x\) zu \(y\) in Relation und \(x\) zu \(z\) in Relation steht, dann ist \(y=z\).
Mit anderen Worten: Eine Relation \(R\), die auf dem kartesischen Produkt \(M\times N\) definiert ist, heißt eindeutig, wenn jedem Element in \(M\) genau ein Element aus \(N\) zugeordnet wird. Dieser Begriff leistet also die Vorarbeit für den Funktionsbegriff.