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Schulmathematik vs. Unimathematik

1. Einführung

Dass man im Informatikstudium Mathematik braucht, sollte mittlerweile jeder mitbekommen haben. Nur alleine aus der Vorstellung heraus Informatik studieren zu wollen, dass man "sich schon immer für Computer interessiert hat", reicht leider nicht immer aus.
Was viele aber nicht berücksichtigen ist die Frage, welche Art von Mathematik im Studium benötigt wird. Das, was du in der Schule über Mathematik lernst, hat genauso viel mit "echter" Mathematik zu tun, wie ein Chemiestudium mit einer Kochausbildung. Vereinfacht kann man die Schulmathematik als "Rechnerei" bezeichnen, da im Prinzip nur stumpf Algorithmen einstudiert und in der Prüfung dann abgespult werden. Die Kurvendiskussion ist dafür ein gutes Beispiel. Ich habe im Studium keine einzige Kurvendiskussion durchführen müssen, sondern vielmehr gezeigt, dass z. B. für eine bestimmte Funktion mindestens ein Schnittpunkt mit der \(x-\)Achse existieren muss (ohne die Berechnung einer Nullstelle). Hierfür verwendet man den sogenannten Zwischenwertsatz, den man zuvor in der Vorlesung bewiesen hat. Hierfür sind wiederum Begriffe wie Stetigkeit und Abgeschlossenheit notwendig, was man (wie ein Kartenhaus) Stufe für Stufe vermittelt bekommt.
Das ist eine ganz andere Herangehensweise an Probleme. Man darf und muss sogar kreativ werden, um bestimmte Probleme lösen zu können. Es braucht also keine Formeln, in die man einfach nur Werte einsetzt, sondern man kann sich eigenständig (ohne einen bestimmten Lösungsweg vorgeschrieben zu bekommen), mit dem Problem befassen. Wenn du also in der Schule nicht so gut mit Mathe klargekommen bist, dann heißt das nicht automatisch, dass du an der Uni ebenfalls Probleme bekommst, denn vlt. bist du einfach nicht mit der Setze-Ohne-Verständnis-In-Formel-XY-Ein-Mentalität klargekommen. Umgekehrt heißt das aber auch nicht, dass du, nur weil du in der Schule gut in Mathe warst, du automatisch auch die Unimathematik mit Leichtigkeit meisterst. Wie schon gesagt sind die Anforderungen hier völlig verschieden!
Ich möchte dir in diesem Artikel nun weitere Beispiele nennen, wo (besonders im ersten Semester) die Schulmathematik und die Unimathematik stark auseinanderdriften. Möglicherweise hast du danach sogar Lust auf Unimathe oder bekommst zumindest die Angst vor den Themen genommen. Bitte verzweifle nicht, wenn du nicht allen Beispielen folgen kannst. Du bekommst an der Uni wirklich von Null auf alles erklärt. Selbst die natürlichen Zahlen \(1,2,3,...\) werden noch einmal erklärt und Begriffe, die dir unbekannt scheinen, werden sauber (und immer nachlesbar) definiert.

2. Warum Unimathematik?

Bevor wir konkrete Aufgabentypen gegenüberstellen, beantworten wir zunächst die Frage, weshalb du überhaupt Unimathematik brauchst. Was bringt sie dir in deinem späteren Berufsleben als Informatiker, Mathelehrer oder Ingenieur? Nun, für den Mathelehrer ist die Antwort offensichtlich: Wer keine Ahnung von seinem Fach (auch in der Tiefe) hat, wird bei seinen Schülern kein Interesse für die Mathematik wecken können. Würdest du dich von einem Musiklehrer unterrichten lassen wollen, der kein Musikinstrument spielt? Vermutlich nicht. Zudem muss man weiterführende Fragen beantworten und gute Schüler fördern können. Zudem sollte er dazu befähigt sein, auf zukünftige Entwicklungen seines Schulfachs reagieren und den Unterricht selbstsicher führen zu können, da man sich sonst nur in seinem abgesteckten Bereich bewegt, der nach Möglichkeit nicht verlassen werden sollte, da man ansonsten nur noch mit Halbwissen prahlt.
Schön und gut. Aber wie sieht es bei Studierende von MINT-Fächern aus, die später einmal nicht vor Schülern stehen werden? Warum müssen die sich mit Unimathematik beschäftigen? Ganz einfach! Damit du mathematisches Denken erlernst. Du wirst in deiner gesamten beruflichen Laufbahn als Informatiker höchstwahrscheinlich nie danach gefragt werden, was man unter einem Vektorraumhomomorphismus versteht. Es geht also nicht um konkretes Fachwissen, sondern um die Fähigkeit, abstrakt zu denken und Probleme strukturiert lösen zu können. Dementsprechend ist klar, dass du an der Uni mit Formeleinsetzen nicht weit kommen wirst, denn damit erwirbst du keine Problemlösungskompetenz.

3. Beispiele

Nun aber genug der langen Vorrede. Schauen wir uns mal ein paar Beispiele an.
Allgemein lässt sich sagen, dass die Art und Weise, wie Mathematik an der Uni gelehrt wird, folgendermaßen abläuft:
  • Definition
  • Satz
  • Beweis
Zuerst werden bestimmte Begriffe definiert, auf Basis dieser Begriffe dann Sätze formuliert und diese wiederum dann mathematisch bewiesen.
Eine typische Aufgabe aus der Schule lautet, dass du den Wert der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle \(x\) für eine Funktion \(f(x)\) berechnen sollst. Dazu würdest du nun schematisch die erste Ableitung bilden und dort den \(x-\)Wert einsetzen. So eine Aufgabe wirst du an der Uni selten bis gar nicht gestellt bekommen. Hier wäre nämlich eher interessant, ob eine Funktion an einer bestimmten Stelle differenzierbar, also überhaupt ableitbar ist. Oder man soll für eine gegebene Funktion alle Punkte ermitteln, an denen die Ableitung einer Funktion überhaupt berechnet werden kann.
Wenn man in der Schule die Mengenlehre bespricht, dann passiert das meistens anhand von konkreten Beispielen. Wenn man für die Mengen \(A=\{1,2,3\}\) und \(B=\{4,5,6\}\) bestimmen soll, ob sie gemeinsame Elemente haben, würde man das in der Uni als Spezialfall betrachten. Wie würdest du nämlich vorgehen? Du würdest die Schnittmenge \(A\cap B\) berechnen und schauen, ob diese leer ist. Wenn sie leer ist, dann besitzen die beiden Mengen keine gemeinsamen Elemente. Die Eigenschaft "besitzen keine gemeinsamen Elemente", belegt man in der Uni dann mit einem eigenen Begriff. Man würde dann sagen, dass \(A\) und \(B\) disjunkt sind. Diese Vorgehensweise ist mehr oder weniger in der folgenden Definition enthalten: Seien \(A\) und \(B\) endliche Mengen. Genau dann, wenn die Schnittmenge \(A\cap B\) der beiden Mengen \(A\) und \(B\) die leere Menge \(\emptyset\) ist, dann sind \(A\) und \(B\) disjunkt. Das Statement könnte man mathematisch noch verkürzter notieren, nämlich \(A\cap B=\emptyset\Longrightarrow \) \(A\) und \(B\) sind disjunkt. Um diese verkürzte Symbolik lesen zu können, benötigst du Grundwissen im Bereich der Logik, was teilweise nicht einmal zum Schulstoff zählt. Ich habe auf meinem YouTube-Kanal ein Video zur Einführung in die mathematische Logik anhand der Denkweise von Sherlock Holmes veröffentlicht.
Apropos Mengenlehre: Im Prinzip fußt die gesamte Mathematik auf der Mengenlehre nach Georg Cantor. Mit ihr ist es sogar möglich, die natürlichen Zahlen aus dem Nichts zu erschaffen. Auch dazu habe ich ein Video auf meinem Kanal veröffentlicht. Eine Funktion von den reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) in die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) ist demzufolge eine Teilmenge des kartesischen Produkts \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), bei der für die Elemente \((x,y)\) gilt: \((x,y_1)\wedge (x,y_2)\Longrightarrow y_1=y_2\), d. h. jedem \(x\) darf nur genau ein \(y\) zugeordnet werden. Zudem müssen alle \(x\in\mathbb{R}\) an der ersten Stelle in den sogenannten geordneten Paaren bzw. \(2-\)Tupeln auftauchen.
Eine typische Fragestellung aus der Schule beschäftigt sich z. B. mit Umkehrfunktionen. Es soll bspw. die Umkehrfunktion zur reellen Funktion \(f(x)=x^3-2\) gefunden werden. An der Uni würde man eher die Frage stellen, ob diese Funktion überhaupt eine inverse Funktion bestizt, also invertierbar ist. Dazu weist man für gewöhnlich nach, dass die Funktion bijektiv, also surjektiv und injektiv ist. Was ist das schon wieder? Nun, injektiv heißt, dass jedes \(y\) in der Zielmenge von maximal einem Element \(x\) aus der Ausgangsmenge getroffen wird. Surjektiv bedeutet, dass jedes Element in der Zielmenge von mindestens einem Element \(x\) aus der Ausgangsmenge getroffen wird. Zusammen bedeutet das also, dass jedes \(x\) auf genau ein \(y\) abgebildet wird. Damit eine Funktion überhaupt injektiv, surjektiv oder bijektiv sein kann, gibt es wiederum Eigenschaften, die sich über die Mengenlehre definieren lassen. Du merkst also: In der Mathematik hängt alles irgendwie miteinander zusammen und ist sehr axiomatisch aufgebaut. Nichts geschieht ohne Grund und alles, was man an allgemeinen Zusammenhängen formuliert, ist nur dann wirklich verwendbar, wenn man es beweisen kann.
Während man sich in der Schule damit zufrieden gibt, dass eine bestimmte Formel einfach gilt, weil es der Lehrer gesagt hat, hast du an der Uni ein Recht darauf zu erfahren, warum die Formel funktioniert! Du darfst (und sollst!) nachfragen, wieso etwas Allgemeingültigkeit hat oder ob es sich nur um einen Spezialfall handelt. Daran schließen sich dann meistens weitere Fragen an wie "Gibt es endlich oder unendlich viele Spezialfälle?" oder "Kann man die Spezialfälle algorithmisch ermitteln?" Du gehst also viel abstrakter an bestimmte Probleme heran und bist so in der Lage, neue Probleme und dazu passende Lösungen zu formulieren. Allerdings sind die mathematischen Argumente, weshalb die Allgemeingültigkeit gewärhleistet sind, nicht immer sofort verständlich und müssen ggf. mehrfach gelesen oder durchdacht werden. Aber keine Sorge: Mit der Zeit kommst du in diese Denkweise rein. Der größte Fehler ist es, nur weil man vielleicht zwei bis drei Sätze nicht versteht, direkt den Kopf in den Sand zu stecken. Steter Tropfen höhlt den Stein.
Zudem muss man stark darauf aufpassen, in welche "Richtung" Sätze formuliert sind. Der Satz "Wenn eine Reihe \(\sum\limits_{k=0}^\infty{a_k}\) konvergent ist, dann ist \(a_k\) eine Nullfolge" kann nicht so umgedeutet werden, dass eine Reihe konvergent ist, wenn \(a_k\) eine Nullfolge ist. Nur, wenn eine Reihe konvergent ist, dann ist \(a_k\) eine Nullfolge. Die Richtung, in die der Satz formuliert ist, ist entscheidend! Es kann sein, dass ein Satz in beide Richtungen funktioniert, doch das ist nicht immer der Fall. In solchen Fällen würde man von einer Äquivalenz sprechen.
Ein weiteres Beispiel, anhand dessen man sehr schön die Richtung, in die Aufgaben aus der Unimathematik gehen, illustrieren kann,wird an der folgenden Aufgabenstellung deutlich: "Wir betrachten die Funktion \(f(x)=e^{ax}\), wobei \(a\) eine reelle Zahl ist. Wie lautet die \(n-\)te Ableitung dieser Funktion? Beweisen Sie Ihre Vermutung durch vollständige Induktion". Zunächst einmal stellt sich die Frage, was vollständige Induktion ist. Hierbei handelt es sich um ein Beweisprinzip, bei dem man zeigen kann, dass eine Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. So weit so gut. Aber wie bestimmt man jetzt die \(n-\)te Ableitung? Für die erste Ableitung gilt: $$ f'(x)=a\cdot e^{ax} $$ Es ist also nur das \(a\) vorne an die \(e-\)Funktion drangekommen. Bei der zweiten Ableitung $$ f''(x)=a^2\cdot e^{ax} $$ sind jetzt schon zwei \(a\)s vor dem \(e\). Mit der dritten Ableitung $$ f'''(x)=a^3\cdot e^{ax} $$ erkennt man vielleicht schon ein Muster. Der Faktor vor dem \(e\) wird mit jeder Ableitung einmal mehr dranmultipliziert. D. h. die \(n-\)te Ableitung könnte allgemein $$ f^{(n)}(x)=a^n\cdot e^{ax} $$ lauten. Diese Vermutung müsste man jetzt mit der vollständigen Induktion beweisen, da Vermutungen allein in der Mathematik nicht viel wert sind.
Ein abschließendes Beispiel für den Unterschied zwischen Schul- und Unimathematik basiert ebenfalls auf dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Der berühmte Mathematiker Karl Friedrich Gauß soll in der Schule als Strafarbeit einmal aufbekommen haben, die Zahlen von \(1\) bis \(100\) zu addieren. Er kam sehr schnell auf das Ergebnis, nämlich \(5050\). Das konnte er, weil er die Summe der Zahlen von \(1\) bis \(100\) als Spezialfall der Summe der Zahlen von \(1\) bis \(n\) betrachtet und sich überlegt hat, wie man dieses Problem lösen könnte. In der Schule würde man quasi nur den Rechenteil und ganz vielleicht die Herleitung einer Formel gestellt bekommen, während man an der Uni eine Formel für die Berechnung der Summe der ersten \(n\) Zahlen finden und beweisen müsste.

4. Fazit

Ich hoffe, dass ich dir einen kleinen Einblick in die Unimathematik geben konnte. Mache dir keine Sorgen, wenn du jetzt noch nicht alles verstanden haben solltest: Das ist völlig normal. Du bekommst wirklich alles noch einmal neu beigebracht, da die Schule an vielen Stellen die Schüler in die völlig falsche Denkrichtung gestoßen hat. Mein Professor in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik meinte mal, dass er es besser finden würde, wenn man den Stochastik-Teil in der Schule weglässt, da er sonst nicht bei \(0\), sondern bei \(-5\) anfangen müsste zu erklären. Du gehst in der Unimathe den Themen wirklich auf den Grund und gibst dich nicht mit Halbwahrheiten zufrieden. Auf meinem Kanal findest du zahlreiche Videos, die in genau diese Kerbe schlagen.