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Lernen für Mathe Klausuren

1. Einführung

Wer kennt es nicht? Die Matheklausur steht vor der Tür und man versucht krampfhaft das Wissen der letzten Wochen und Monate in seinen Kopf zu bekommen. Vergiss es einfach. Wenn du kurz (d. h. ca. ein bis zwei Wochen) vor einer Matheklausur anfängst zu lernen, dann ist diese Zeit sinnvoller in die anderen Fächer investiert. Mathe lernt man nicht über Nacht und schon gar nicht durch Bulimie-Lernen.
Ich gebe dir in diesem Artikel erstmal nur einen allgemeinen Überblick, wie du dich auf eine Matheklausur vorbereiten kannst und solltest! Ich werde weitere Artikel veröffentlichen, in denen ich für jedes Mathe-Fach im Informatikstudium beschreibe, wie du dich sehr gut und vor allem effektiv darauf vorbereiten kannst.

Um den potentiellen Clickbait-Vorwürfen vorzubeugen: Ich bin fest davon überzeugt, dass jeder eine 1.0 in Mathe erreichen kann (sofern die Prüfung nicht so korrigiert wird, dass manche Schüler oder Studierende schlecht abschneiden müssen). Ich spreche da aus eigener Erfahrung: Ich habe in der Schule auch schon mal eine 6 in Mathe geschrieben (Bruchrechnung) und trotzdem an der Uni alle Mathefächer mit einer 1 bestanden. Aus heutiger Sicht würde ich sagen, dass ich damals mit der Rechnerei nicht klargekommen bin, denn besagte Note entstand bei einer Prüfung zur Bruchrechnung. Zu dieser Zeit habe ich nicht das Prinzip beim Bruchrechen gelernt, sondern den Algorithmus vor lauter Zahlen nicht gesehen. Wenn man aber verstanden hat, wie das Bruchrechnungsgerüst funktioniert, sind konkrete Zahlen nur Spezialfälle. Und so solltest du die Probleme der Mathematik auch angehen: Nicht nur Spezialfälle durchkauen, sondern vor allem das dahinterstehende Konzept erlernen.


2. Rechtzeitig anfangen

Auch wenn der erste Tipp sehr offensichtlich ist, gibt es kaum ein anderes Fach, bei dem man so früh wie möglich anfangen sollte zu lernen, wie Mathematik in der Schule und im Studium. Das liegt vor allem daran, dass in Mathematikklausuren oft nur wenig spezifisches Fachwissen, sondern Problemlösungskompetenzen abgefragt werden. In der Schule gestaltet sich das vielleicht noch ein bisschen anders, da man viele Rezepte ausweniglernen und diese dann in der Prüfung stumpf abspulen kann. Aber spätestens an der Uni musst du in der Lage sein auch Aufgaben lösen zu können, die nicht zuvor eins-zu-eins so durchgekaut wurden. Rezepte, wie man Algorithmen in der Schule häufig nennt, werden nur in wenigen Fällen an der Uni auftauchen. Hier geht es vorrangig um mathematisches Beweisen und Argumentieren. Meine Analysis-Professorin meinte mal, dass sie den Taschenrechner in der Prüfung am liebsten komplett verbieten würde, weil wir den aufgrund der Art und Weise der Aufgaben ohnehin nicht wirklich benutzen könnten. Ihr kam es vor allem darauf an, dass wir mathematisch sauber argumentieren können. Es reicht z. B. nicht aus zu schreiben, dass die Reihe $$ \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2}{3^k}} $$ konvergiert, weil \(|q|=\frac{1}{3}\lt 1\) ist, sondern man musste schreiben, dass die Reihe nach dem Konvergenzkriterium für geometrische Reihen konvergiert, da \(|q|=\frac{1}{3}\lt 1\). Zudem musste klar sein, wo \(\frac{1}{3}\) herkommt.
Solche Argumentationsketten lernt man nicht über Nacht. Du musst wirklich verstanden haben, worum es geht. Ein anderes Beispiel: Wir haben in der Vorlesung das Beweisprinzip der vollständigen Induktion durchgenommen und anhand von Summenformeln einstudiert. In der Prüfung wurde uns dann keine Summenformel zum Beweis mit vollständiger Induktion vorgesetzt, sondern eine Formel zum Berechnen der \(n-\)ten Ableitung einer Funktion. Diese sollte dann durch vollständige Induktion bewiesen werden. Dazu war es wichtig, dass man verstanden hat, was eigentlich die Beweisidee bei der vollständigen Induktion ist und wie man diese auf andere Problemklassen anwenden kann. Das stumpfe Auswendiglernen von Rechenregeln und Lösungsansätzen bringt in den meisten Fällen also nicht viel.
Außerdem empfiehlt es sich, dass du über einen gut gefüllten mathematischen Werkzeugkasten verfügst, in dem Tools wie "Ausklammern", "Ausmultiplizieren", Potenzgesetze usw. enthalten sind. Andernfalls musst du bei einem Problem zu viel Zeit und Energie in die oft trivialen Umformungsschritte stecken. Dein gedanklicher Fokus sollte auf dem Problem liegen. Damit dir diese Rechtechniken in Fleisch und Blut übergehen, musst du sie häufig anwenden, was eine regelmäßige (und vor allem frühzeitige) Wiederholung erfordert.

2. Zusammenfassungen schreiben

Ein weiterer Tipp, den du vermutlich schon zuvor in deiner Schullaufbahn beherzigt hast, ist es, Zusammenfassungen zu schreiben. Insbesondere im Mathematikbereich ist das durchaus hilfreich, da man so einen Gesamtüberblick über die Themen bekommt und dadurch inhaltliche Verknüpfungen zwischen den Themen herstellen kann, die man so bislang vielleicht noch gar nicht gesehen hat. Du musst dich für eine Zusammenfassung aktiv mit dem Stoff beschäftigen und inhaltlich entscheiden können, was wichtig und was unwichtig ist. Das bekommst du nur dann hin, wenn du die Inhalte tatsächlich verstanden hast und ihre Relevanz im Gesamtzusammenhang beurteilen kanst. Deshalb ist das Erstellen von Zusammenfassungen nicht nur eine gute Möglichkeit, um sich auf eine Prüfung vorzubereiten, sondern gleichzeitig auch eine Lernerfolgskontrolle der etwas anderen Art.

3. Übungsblätter lösen

In vielen Studiengängen mit mathematisch, technischer oder naturwissenschaftlicher Ausprägung müssen wöchentlich Übungsblätter bearbeitet werden. Für die Zulassung zur Klausur muss dabei ein bestimmter Prozentsatz an Punkten erreicht werden. Diese Übungsblätter sind in etwa vergleichbar mit Hausaufgaben, nur dass alle überprüft werden und sie zulassungsrelevant für die Klausur sind. An einigen Unis und Fachhochschulen sind keine Übungsblätter abzugeben. Dennoch erhält man eine Menge an Aufgaben, von denen empfohlen wird, sie in Vorbereitung auf die Vorlesung und die Klausur zu bearbeiten. Diese Empfehlung kann ich an dieser Stelle auch noch einmal aussprechen. Erst durch die Bearbeitung von Übungsaufgaben festigt man den Vorlesungsstoff bzw. lernt, ihn anzuwenden. So, wie du das Programmieren nicht durch bloßes Hinschauen lernst, lernst du Mathematik nicht nur durch Zuhören und Abpinseln von Tafelanschrieben. Die Übungsblätter geben dir die Möglichkeit, die Inhalte konkret anzuwenden und um ein Gespür dafür zu bekommen, wie Klausuraufgaben aussehen könnten.


4. Lerngruppen bilden

Direkt zu Beginn des Studiums wird einem empfohlen, sich in Gruppen zusammenzufinden und statt als Zitat "autistischer Einzelkämpfer" lieber als Teamplayer das Studium zu meistern. Informatik, Mathematik und die Naturwissenschaften sind ein Teamsport, bei dem man ohne die Arbeit mit anderen Gefahr läuft, schnell abzurauchen. Einige Professoren erlauben sogar, die bereits erwähnten Übungsblätter in Teams abzugeben. Die Aufgaben sind dann aber auch entsprechend gestrickt, dass man aktiv über ein bestimmtes Problem philosophieren und gemeinsam an einer Lösung arbeiten muss. In Tutorien oder Seminaren beweist man dann, dass man TEAM nicht als "Toll, ein anderer macht's" verstanden, sondern sich aktiv an der Lösungsfindung beteiligt hat. Ich selbst habe mit Teamarbeit im Informatikstudium und insbesondere in den Mathematikfächern sehr gute Erfahrung gemacht! Man kann Probleme geschickt aufteilen und in Diskussionen neue Blickwinkel auf die eigene Herangehensweise an ein Problem bekommen. Zudem erwirbt man die Fähigkeit, mathematisch präzise zu argumentieren. Wenn du dich mit deinen Kommilitonen über die Aufgaben unterhältst, wirst du sehen, wie andere eine bestimmte Definition, einen Satz oder ein Problem interpretiert haben, was du dann mit deinem Verständnis abgleichen und ggf. korrigieren kannst. In der Gruppe hast du außerdem die Möglichkeit, anderen die Inhalte aus der Vorlesung in eigenen Worten zu erklären, was sich wiederum positiv auf dein Verständnis auswirkt. 

Achte aber darauf, dass die Gruppe für dein Lernen nicht toxisch ist. Es ergibt durchaus Sinn, mehreren Lerngruppen anzugehören, da es (je nach Konstellation) zu persönlichen und fachlichen Konflikten kommen kann. Wenn du bspw. eine Gruppe erwischst, die weit über oder unter deinem Lernfortschritt liegt, dann wird sich das in beiden Fällen sogar eher negativ auf deinen persönlichen Lernerfolg auswirken, da du entweder demotiviert wirst oder fachlich nicht weiterkommst.


5. YouTube

YouTube ist mittlerweile eine sehr gute Informationsquelle für Themen aus dem MINT-Bereich geworden. Doch auch hier gilt wie überall: Die Dosis macht das Gift. Nur alleine mit YouTube lernen zu wollen und zu denken, dass man dann die Prüfung mit Leichtigkeit besteht, ist eine völlig utopische Vorstellung. Insbesondere dann, wenn man den Stoff in kurzen 5-Minuten Videotutorials vorgekaut bekommt, reicht das nur selten aus. Du solltest auf jeden Fall trotzdem die Vorlesung besuchen und ein gutes Fachbuch von einem renommierten Wissenschaftsverlag verwenden, da das darin enthaltene Wissen von Experten überprüft wurde. YouTube-Videos im Mathematikbereich können dir zwar helfen, bestimmte Probleme im Verständnis zu lösen, doch für eine allumfassende mathematische Grundausbildung sind weitere Quellen hinzuzuziehen. Es lohnt sich außerdem, Kanäle zu abonnieren, die sich auf einem bestimmten Teilgebiet spezialisiert haben, wie etwa Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (hier ist der Kanal "Kurzes Tutorium Statistik" z. B. sehr gut!) oder Kanäle, die Mathematik auf Uni-Niveau sehr anschaulich (aber dennoch tief genug) behandelt. Da kann ich den Kanal "The Bright Side of Mathematics" empfehlen!


6. Feynman-Methode

Die Feynman-Methode ist nach dem Physiker Richard Feynman benannt. Sie fußt auf der Idee, dass man, um jemand anderem etwas in einfachen Worten erklären zu können, es selbst sehr gut verstanden haben muss. Umgekehrt bedeutet das: Wenn du etwas nicht oder nicht vollständig verstanden hast, wirst du es anderen nicht erklären können. Mein Tipp ist also, dass du versuchst, den Stoff für die bevorstehende Matheklausur deinen Mitschülern oder Kommilitonen zu erklären. Das kannst du entweder in deiner Lerngruppe machen oder du stellst dich einem "imaginären" Publikum. Wichtig ist, dass du dir überlegst, wie du die Inhalte jemandem vermitteln würdest, der sie noch nicht kennt. Dabei durchdenkst du genau, worauf es ankommt und lernst die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Themenfeldern kennen.


7. Eigene Klausur erstellen

Mir persönlich hat es übrigens auch immer geholfen, eine eigene Klausur zu erstellen und diese zu lösen. Hier gilt dasselbe wie bei der Feynman-Methode. Wenn du dir eigenständig Aufgaben zu den Themen aus der Matheklausur überlegen und diese dann sogar lösen kannst, steht der 1,0 eigentlich nichts mehr im Weg. Ich rede jetzt nicht davon, dass du Aufgaben aus der Vorlesung oder aus Probeklausuren umformulierst und mit anderen Zahlen belegst, sondern dass du einen Aufgabentypen entwickelst, der auf den Themen beruht, die du gelernt hast.

In der linearen Algebra könntest du dir z. B. überlegen, eine quadratische Matrix \(A\) zu entwerfen, die an bestimmten Stellen eine Konstante \(k\in\mathbb{R}\) besitzt und danach fragen, für welche Werte von \(k\) die Matrix invertierbar ist. Dafür muss du verstanden haben, wie man die Determinante einer Matrix berechnet, wie man in Abhängigkeit von unbekannten Größen mathematisch argumentieren kann, was man unter der Invertierbarkeit einer Matrix versteht und welche Kriterien für eine invertierbare Matrix gelten.