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Binär in Dezimal, Hexadezimal in Dezimal und beliebige Zahl in Dezimal umwandeln

1. Einführung

Eine Binärzahl ist eine Zahl zur Basis \(g=2\). Es gibt im Binärsystem nur die Ziffern \(0\) und \(1\). Um z. B. die Binärzahl \(10110\) in eine Dezimalzahl umwandeln zu können, erstellst du dir zunächst eine Tabelle mit zwei Zeilen und so vielen Spalten wie die umzuwandelnde Zahl Ziffern hat (das wären in diesem Fall fünf). In die obere Zeile trägst du von rechts nach links die Zweierpotenzen ein, also: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline 2^4 &2^3& 2^2 & 2^1& 2^0 \\\hline &&&& \\\hline \end{array} $$ In die untere Zeile trägst du von links nach rechts die Zahl ein, die du umwandeln möchtest: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 2^4& 2^3& 2^2& 2^1& 2^0 \\\hline 1& 0& 1& 1& 0 \\\hline \end{array} $$ Nun multiplizierst du die Werte der Ziffern mit den dazugehörigen Potenzen und addierst die Ergebnisse, also: $$ 0\cdot 2^0+1\cdot 2^1+1\cdot 2^2+0\cdot 2^3+1\cdot 2^4 =0\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot 4+0\cdot 8+1\cdot 16 =0+2+4+0+16 =22 $$ Die Summe ist das Ergebnis der Umwandlung, d. h. die Binärzahl im Dezimalsystem.
Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, geht man völlig analog vor. Eine Hexadezimalzahl ist eine Zahl zur Basis \(g=16\). Es gibt in diesem System die Ziffern \(0\) bis \(f\). Ab \(10\) beginnt man (wegen der Verwechslungsgefahr mit einer Zahl) die Ziffern mit Buchstaben (\(a\) bis \(f\)) fortzuführen. Um die Hexadezimalzahl \(42b\) in eine Dezimalzahl umwandeln zu können, erstellst du dir zunächst eine Tabelle mit zwei Zeilen und so vielen Spalten wie die umzuwandelnde Zahl Ziffern hat (das wären in diesem Fall drei). In die obere Zeile trägst du von rechts nach links die Sechszehnerpotenzen ein, also: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 16^2 & 16^1& 16^0 \\\hline && \\\hline \end{array} $$ In die untere Zeile trägst du von links nach rechts die Zahl ein, die du umwandeln möchtest: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 16^2 & 16^1& 16^0 \\\hline 4& 2& b \\\hline \end{array} $$ Nun multiplizierst du die Werte der Ziffern mit den dazugehörigen Potenzen und addierst die Ergebnisse, also: $$ b\cdot 16^0+2\cdot 16^1+4\cdot 16^2 =11\cdot 1+2\cdot 16+4\cdot 256 =11+32+1024 =1067 $$ Die Summe ist das Ergebnis der Umwandlung, d. h. die Hexadezimalzahl im Dezimalsystem.

2. Der Algorithmus

Wie funktioniert das nun, wenn wir eine Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem mit der Basis \(g\) ins Dezimalsystem umwandeln wollen?
Algorithmus: Zahl zur Basis \(g\) ins Dezimalsystem umwandeln

Eingabe: Zahl \(z\) zur Basis \(g\)
Ausgabe: Zahl \(z\) im Dezimalsystem
  1. Erstelle eine Tabelle mit zwei Zeilen mit so vielen Spalten, wie die umzuwandelnde Zahl \(z\) Ziffern hat. In die erste Zeile trägst du von rechts beginnend die Potenzen der Zahlenbasis \(g\) ein (bei \(0\) beginnend). Die zweite Zeile bleibt erstmal leer.
  2. Trage die Ziffer der umzuwandelnden Zahl \(z\) von links nach rechts in die zweite Zeile der in Schritt 1 erstellten Tabelle ein.
  3. Multipliziere für jede Spalte den Wert der Ziffer mit der darüberstehenden Potenz und addiere die Ergebnisse. Die Summe entspricht der Zahl \(z\) im Dezimalsystem.

3. Beispiel

Wir betrachten als Beispiel die Zahl 2430 im Zahlensystem zur Basis \(g=5\), in dem es die Ziffern \(0\) bis \(4\) gibt. Zunächst erstellen wir uns eine Tabelle mit zwei Zeilen und vier Spalten, weil die umzuwandelnde Zahl aus vier Ziffern besteht. Dort tragen wir in der ersten Zeile von rechts beginnend die Fünferpotenzen ein, da die umzuwandelnde Zahl als Basis \(g=5\) besitzt: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 5^3&5^2&5^1&5^0 \\\hline &&& \\\hline \end{array} $$ In die zweite Zeile trägst du die von links nach rechts die \(2430\) ein: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 5^3&5^2&5^1&5^0 \\\hline 2&4&3&0 \\\hline \end{array} $$ Nun multiplizierst du die Ziffern mit den entsprechenden Fünferpotenzen und addierst die Ergebnisse: $$ 0\cdot 5^0+3\cdot 5^1+4\cdot 5^2+2\cdot 5^3 = 0\cdot 1+3\cdot 5+4\cdot 25+2\cdot 125 = 0+15+100+250 =365 $$ \(365\) ist also die Zahl \(2430\) aus dem Zahlensystem zur Basis \(g=5\) im Dezimalsystem.